عنوان مقاله "نقاط تنها تنها مانده اند"

بسمه تعالی عنوان مقاله "نقاط تنها تنها مانده اند" )بررسی چالش های موجود در تعاریف حد وپیوستگی در کتابهای دبیرستانی( زهرا عباسی *1 حسن رزاقیان 2 آموزش و پرورش شهرستان محمودآباد تابستان 1131 چکیده در این مقاله سعی کرده ایم با بررسی تعاریف حد وپیوستگی در کتابهای حسابان وحساب دیفرانسیل وانتگرال قدیم و بیان تعاریف جامع این مفاهیم با توجه به کتابهای معتبر ریاضی دانشگاهی به لزوم اصالح تعریف این مفاهیم بپردازیم سپس با بیان چالش های موجود در کتابهای جدیدالتالیف و اختالف نظر ها در بین دبیران محترم ریاضی وهمچنین با بیان اشکاالت موجود در کتابهای کمک آموزشی معتبر موجود در بازار تعریف جامعی از این دو مفهوم ارائه کرده ایم تا اختالف نظر ها به حداقل برسد و تکلیف حد وپیوستگی درتمام نقاط خاص یک تابع بخصوص نقاط" تنها" با این تعریف مشخص گردد. واژه های کلیدی: حد پیوستگی نقاط تنها همسایگی مقدمه هیچ گونه اصالح تغییر یا تحول دربرنامه های درسی بدون کمک معلمان و بدون آزمایش های پژوهشی مستقیم و برآمده از کالس درس امکان پذیر نیست و بازخوردهای معلمان ودانش آموزان نسبت به برنامه های درسی در کیفیت بخشی به برنامه های درسی مؤثر است برنامه درسی درواقع فقط طرحی کلی برای اجراست نقشه های اجرائی یعنی نقشه های قابل اعمال در محیط های کالس درس فقط با مشارکت معلم ودانش آموزان قابل تهیه وتدوین هستنداکنون که 3 سال از تغییر کتب حسابان وحساب دیفرانسیل وانتگرال می گذرد نیاز به بررسی وتاثیر این تغییرات برنوع آموزش وبازخورد آن در کالسهای درس وجود دارد مقاالتی در راستای این تغییرات صورت گرفته است رفیع پور در) 1331( محتوای حسابان را براساس رویکرد مدلسازی مورد بررسی قرارداده ا ست و در این بررسی بیان شده است که فصل حدو پیوستگی هیچ مسئله ای با این رویکرد ندارد حیدری و گویا نیز در پژوهشی امکان تلفیق نرم افزار های ریاضیات پویا با برنامه درسی رسمی حسابان را بررسی کرده اند یوسف آذرنگ نیز با مقاله "یادگیری حسابان در دام مفهوم حد ونمادها"به بررسی این کتاب با رویکرد جبری پرداخته است نقد هایی نیز از طرف دبیران محترم بر فصلهای مختلف کتابهای جدیدالتالف نوشته شده که درکارگاههای مختلف استانی به بحث گذاشته شده است مقاله حاضر نیز در همین راستا تهیه گردیده است باشد که با این بررسی ها روند بهبود محتوای کتب ادامه یابد وبه بهترین شیوه وبا بهترین محتوا فرزندان این مرز وبوم آموزش ببیند..1 hr1036@yahoo.com hr1036@yahoo.com - 1-2 کارشناسی ارشد ریاضی دبیر ریاضی شهرستان محمودآباد مازندران کارشناسی ارشد ریاضی دبیر ریاضی شهرستان محمودآباد مازندران

2. بیان مسئله.1 محتوی کتب دبیرستانی باید هماهنگ با مفاهیم بیان شده در مراحل باالتر تحصیلی و دانشگاه باشد و هر محتوی بعد از تدریس در کالس درس است که اشکاالت ساختاری در محتوای درسی نمایان می شود شود بعضی از این اشکاالت به نحوه بیان و ارائه مثالها مربوط می شود و بعضی دیگر از نظر مفهومی کامل نیست و در برگیرنده همه حاالت ممکن نمی شود. محتوایی که برای یک دانش آموز دبیرستانی نوشته می شود باید ساده روان و مطابق با تعاریف مقاطع باالتر باشد زیرا آنچه که در دبیرستان یاد می گیرد پایه گذار درک ریاضی او از مفاهیم است. اختالف نظر دبیران محترم ریاضی درمورد مفاهیمی مانند حد پیوستگی و مشتق و همچنین وجود اختالف در حل بعضی از مسائل درکتابهای کمک آموزشی مورد استفاده دانش آموزان ما را بر آن داشت که با مطالعه کتابهای مرجع ریاضی به بررسی این موضوعات چالش بر انگیز بپردازیم باشد که با ایجاد وحدت در بیان مفاهیم پایه و اساسی از سردرگمی دانش آموزان خود جلوگیری نمائیم هرچند از محتوی کتاب ها برمی آید که هدف مولفان پرداختن به بعضی از مسائل مقاله حاضر نیست اما وجود سواالت مختلف و اختالف نظر های فراوان نشان می دهد که با بیان بعضی حاالت خاص می توان یکپارچگی ووحدت نظر را در بیان مفاهیم اختالف برانگیز به وجود آورد روش کار در این مقاله ابتدا کتابهای حسابان و حساب دیفرانسیل و انتگرال جدید وقدیم را از نظر تعریف حد و پیوستگی و مشتق مورد بررسی قرار دادیم سپس با مطالعه کتابهای کمک آموزشی و باتوجه به تجربه آموزشی خود و نظر سنجی از تعدادی از همکاران که این دروس را تدریس کرده بودند موارد اختالف را پیدا کردیم سپس به بیان اشکاالت موجودو همچنین دلیل تغییر بعضی از تعاریف در کتاب های جدید پرداخته ایم. این مقاله را در سه بخش حد پیوستگی و مشتق تابع ارائه کرده ایم وبا ارائه مناسب ترین تعریف مثالهای چالش برانگیز را نیز حل کرده ایم که درا ین میان بررسی حد و پیوستگی تابع در نقاط «تنها«یا منفرد جزء بخشهای اصلی این مقاله است. 4. حد تابع تعریف حد تابع از کتاب حسابان قدیم : تعریف 1. فرض کنیم تابع ( f(xدربازه باز نامند اگر بتوان( f(x x 0 را حد چپ تابع ( f(xدر l تعریف شده باشدعدد a), x 0 ) می را به هر اندازه دلخواه به l نزدیک کرد به شرطی که عدد مثبت x 0 x را به قدر کافی به صفر نزدیک کنیم و به همین ترتیب حد راست تابع در x 0 تعریف حد تابع در کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال قدیم : تعریف می شود. تعریف 2. فرض کنیم تابع f(x) در یک همسایگی مخدوف نقطه a تعریف شده باشد می گویند تابع f(x) نقطه a حدی برابر l دارد هرگاه برای هر > 0 ε عدد 0 وجود داشته باشدکه در ε > 0, δ > 0 0 < x a < δ f(x) l < ε اشکالی که بر این دو تعریف وارد است این است که شرایط اولیه وجود حد در نقطه a را تعریف تابع در یک همسایگی محذوف نقطه a بیان می کند. درصورتی که نیاز نیست تابع در کل همسایگی نقطه a تعریف شده باشد فقط کافی است نقطه a یک نقطه حدی باشد یعنی دنباله ای از نقاط همسایگی مخذوف a باشد که به a نزدیک شود. در ادامه در همین کتاب در قضیه ای ثابت می شود که اگر lim f(x) = l آنگاه به ازا ئ هر دنباله a n x a که به a میل می کنددنباله ) n f(a به l میل می کند که دراثبات این قضیه تعریف تابع در همسایگی محذوف نقشی ندارد. حال به تعریف حد تابع از کتاب آنالیز ریاضی «والتر رودین» توجه می کنیم

تعریف 1. فرض کنیم,y x فضاهای متری باشند همچنین Eزیر مجموعه x Y بنگارد و P یک نقطه حدی E باشد.می نویسیم: هرگاه نقطه ای مانند به طوریکه رابطه ی d Y (f(x), q) < ε و f باشد E مجموعه ی lim f ( x) q x p را به توی qy با خاصیت زیر وجود داشته باشد: که به ازای هر > 0 ε δوجود > 0 داشته باشد به ازای هر x E که < d x (x, p) < δ 0 برقرار گردد. که همان رابطه ارائه شده در تعریف 2 است وتفاوت آن ها در شرط اولیه برای نقطه p است شرط حدی بودن نقطه p قوی تر از تعریف تابع در همسایگی محذوف p است.در مثال زیراین اشکال را توضیح می دهیم. 2 x Q مثال 1. تابع { = f(x) را در نظر بگیرید x Q C تعریف نشده این تابع درهر همسایگی محذوف هر عدد حقیقی بیشمار نقطه گنگ وجود دارد که تابع در آن تعریف نشده است ولی در تمام نقاط IR دارای حدی برابر 2 است. وبه ازاء هر دنباله گویا تابع مقداری برابر" 2 " دارد. وچون برای هر عدد حقیقی بیشمار دنباله گویا داریم که به a نزدیک می شود وتابع در همه آنها حد ثابت " 2 "را دارد پس این تابع درتمام نقاط IR نیست. تعریف حد در کتاب حسابان جدید تعریف 4. حد دارد.اما در هر همسایگی بی شمار نقطه تعریف نشده داردواین با شرط اولیه تعریف 1 و 2 سازگار برای یک تابع f اگر مقدارهای ( x در دامنه f( به عددی مانند a نزدیک شوند ومشاهده شود که مقدارهای (x) f به عددی مانند L نزدیک می شوند گوییم تابع f در نقطه x a= حد دارد و حد آن برابر L است. در این کتاب حد چپ و راست را نیز به همین سادگی بیان می کند و هیچ صحبتی از همسایگی راست یا چپ به میان نمی آورد.دانش آموز مفهوم نزدیک شدن را با چند مثال ساده به را حتی متوجه می شود تا اینجا همه چیز در مورد حد تابع درست است اما در ادامه فصل حد و پیوستگی تابع درکتاب حسابان همسایگی نقطه a وهمسایگی محذوف نقطه a تعریف می شود و شرط تعریف حد دوطرفه در یک نقطه را تعریف تابع در همسایگی مخدوف نقطه a آید بیان می کندو دوباره اشکال گرفته شده بر تعریف حسابان قدیم به وجود می نتیجه اینکه به کاربردن کلمه همسایگی درتعریف حد در حالت کلی درست نیست می توانیم این موضوع را به صورت زیر بیان کنیم که شرط تعریف حد در نقطه ای مانند a این است که در هر همسایگی دلخواه a هر چند این همسایگی خیلی کوچک باشد تابع در تعداد نامتناهی نقطه تعریف شده باشد.)بیان ساده ای برای نقطه حدی ) با معرفی دنباله در فصل 1 کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال این مشکل برطرف شده است.و در این کتاب تعریف حد تابع به صورت زیر بر اساس دنباله ها بیان شده است. تعریف. 5 فرض کنیم D زیر مجموعه ای از IR و :f D IR یک تابع باشد در این صورت گوییم حد تابع ( a (a همگراست a که به { a {n مانند f است هرگاه به ازاء هر دنباله از نقاط دامنه L عدد حقیقی a در f دنباله n)} { f (a به L همگرا باشد. n در این تعریف شرط حدی بودن نقطه a یا تعریف معادل آن یعنی وجود دنباله ای از D که به a نزدیک شود اشاره نشده است. بنابراین تکلیف نقاط تنها )منفرد( در این تعریف مشخص نیست. اشکال دیگری که بر محتوای کتاب دیفرانسیل جدید می توان گرفت این است که هرچند سعی شده است که مفهوم نزدیک شدن x به نقطه a و (x) f به L را با استفاده از مثالهای مخلتف براساس مفهوم دنباله ای بیان کند اما نوع مثالهای انتخاب شده برای آموزش مفهوم اولیه حد تابع با کمک دنباله مناسب نیستند مثالها طوری بیان شده است که برای دانش آموزان ایجاد ترس و اضطراب می کند به خصوص دانش آموزان سال چهارم که با مشکل بزرگی به نام کنکور درگیر هستند..5

با توجه به اشکاالت بیان شده بهتر است دربیان تعریف حد دقت کافی داشته باشیم تا این مفهوم مهم و اساسی از پایه با شیوه درست وارد ذهن دانش آموز شود. بهترین وجامع ترین تعریفی که می توانیم برای حد تابع در یک نقطه داشته باشیم به صورت زیر است تعریف 6. الاقل یک نقطه از D فرض کنیم D زیر مجموعه ای از f: D IR n IR و یک تابع باشد وهر همسایگی محذوف a داشته باشد در این صورت گوییم حد تابع f در a عدد حقیقی L است هرگاه به ازاء هر دنباله از نقاط دامنه f مانند n} { a که به a همگراست a) ( a دنباله n)} { f (a به L همگرا باشد. 6. پیوستگی تابع در یک نقطه دراین مقاله ابتدا به بررسی تعاریف پیوستگی درکتابها ی حسابان ودیفرانسیل قدیم وجدیدمی پردازیم تعریف پیوستگی در یک نقطه از کتاب حسابان قدیم تعریف 7. تابع f در نقطۀ به طول a پیوسته است اگر و فقط اگر سه شرط زیر برقرار باشند. ((a) 1 f وجود داشته باشد )2 x) lim f( موجود باشد li m f ( x) f ( a) )3 xa xa در این کتاب بعد از بیان این تعریف تعریف پیوستگی را بر اساس است. تعریف و. 8 تابع (x) f در x = a و همچنین براساس دنباله بیان کرده پیوسته است هر گاه در یک همسایگی a تعریف شده و برای هر 0 0 xa وجود داشته باشد که اگر آنگاه f ( x) f ( x) سپس در همین کتاب تعریف پیوستگی را به صورت زیر بیان می کند : تعریف 3. تابع f در نقطه a پیوسته است اگر و تنها اگر برای هر دنباله ی همگرای { a n lim a n که } a n عدد f( a n به (a) f همگرا باشد. دنباله ی ) با توجه به تعریف حد در حسابان قدیم شرط وجود حد در یک نقطه مانند a تعریف تابع در همسایگی راست وچپ و وجود حد چپ و راست مساوی شرط الزم برای وجود حد در یک نقطه بیان شده بود و بنابر این طبق این تعریف تابعی مانند f ( x) 1 x که در همسایگی راست 1= x تعریف نشده است. دارای حد نیست پس در این نقطه پیوسته نیست اما با توجه به تعریف حد که در این مقاله بیان شد شرط وجود حد در یک نقطه مانند a حدی بودن آن نقطه است و وجود یک همسایگی که تابع در آن تعریف شده باشدنیاز نیست و چون در همسایگی چپ 1= x بیشمار دنباله داریم که به 1= x همگراست این برای حدی بودن نقطه کافی است. پس این تابع در 1= x حدی برابر )1(f دارد که در آن پیوسته است. به همین دلیل این تعریف در کتاب حسابان جدید تصحیح شده و به صورت زیر بیان شده است. تعریف 10. فرض کنیم تابع f در نقطه x = a ودر یک همسایگی چپ یا راست یا ( هر دو ) a تعریف شده باشد اگر حد این تابع در a پیوسته است. موجود باشد و برابر (a) f باشد یعنی a) lim f ( x) f ( گوئیم تابع f xa که با این تعریف مشکل مثالهایی مانند مثال بیان شده حل شده است. که کامال صحیح می باشد. در x = a این تعریف در کتاب ا نتگرال جدید هم به همین شکل بیان شده است. و بعد از بیان تعریف پیوستگی را بر اساس دنباله ها به صورت زیر بیان می کند. تعریف. 11 فرض کنیم D دامنه تابع f a را درنقطه f: D IR تابع a زیر مجموعه ای از IR باشد D { a n که به a همگرا است. پیوسته می گوئیم هر گاه به ازای هر دنباله از نقاط D مانند{ { f( a n به (a) f همگرا باشد. دنباله ی {( اشکالی که بر تعاریف بیان شده گرفته می شود این است که در همه این تعاریف فرض را بر این گرفته اند که نقطه ی x = a یک نقطه حدی a باشد. در مورد حالتی که a نقطه حدی نیست سکوت کرده اند. مثال : تابع f =(x) x را در دامنه z در نظر بگیرید. شکل این تابع به صورت زیر است.

همانطورکه مشاهده می شود تمام نقاط این تابع نقاط تنها ( منفرد ) هستند. و باتوجه به تعریف حد این تابع در تمام دامنه شرایط وجود حد را ندارد. اما د رمورد پیوستگی تابع در این نقاط با توجه به تعاریف شماره های 7 و 8 و 10) که یکی از شرایط پیوستگی را تعریف تابع در همسایگی نقطه یا الاقل یک همسایگی چپ یا راست آن می داند( شرایط پیوستگی وجود ندارد. و در موردپیوستگی در این نقاط در بعضی از کتابها است که به دلیل عدم وجود حد پیوستگی نیز برقرار نیست. بیان شده است که این تابع شرایط پیوستگی را ندارد و در بعضی کتابها حال اگر به تعریف شماره 11 دقت کنیم مشاهده می کنیم که این تابع در هر نقطه خود پیوسته است. زیرابرای هر عدد صحیح a تنها دنباله ای که به آن نزدیک می شود دنباله ثابت }2{ } نیز f)2( دنباله })2(f است بیان شده وبا توجه به ضابطه تابع نزدیک می شود. پس این تابع در هر نقطه از دامنه خود پیوسته است. در صورتی که شرایط حدی بودن را ندارد. حال به تعریف پیوستگی در کتاب آنالیز ریاضی رودین توجه کنید. تعریف 12. فرض کنیم X و Y فضاهای متری بوده و بنگارد در این صورت PE E X مجموعه ی و f E را به توی Y ε پیوسته نامند که به ازای هر > 0 p را در f d x (x, p) < δ که x E به ازای هر d Y (f(x), f(p)) < ε وهرگاه f p در f در هر نقطه E پیوسته باشد f برE > 0 δوجود دارد به طوریکه رابطه ی پیوسته خوانده خواهد شد. باید توجه داشت که برای پیوسته بودن باید f در این نقطه تعریف شده باشد. و همچنین درادامه بیان می کند که هر گاه p یک نقطه تنهای E باشد تعریف ما ایجاب خواهد کرد که هر تابع f با قلمرو تعریف E در P پیوسته است. زیرا هر مثبتی که d ( x x, p ) که به ازای آن x اختیار کنیم می توانیم چنان ی مثبتی را برگزینیم که تنها نقطه ی E dy همواره برقرار است ( f ( x), f ( p) باشد x p= است که در این صورت 0 تا اینجا از اینکه تابع باید در همسایگی ها تعریف شده باشد ویا حتی اینکه p نقطه حدی باشد صحبتی نشده است این در حالی است که در تمام تعاریف ارائه درکتابهای جدید وقدیم بجز تعریف) 11( ازکتاب انتگرال جدید این شرط را برای پیوستگی در نظر گرفته اند و در تمام موارد وجود حد را شرط اصلی پیوستگی قرار داده اند. در کتاب آنالیز ریاضی رودین بعد از تعریف بیان شده قضیه ای به صورت زیر برای حالتی که p است بیان می کند.واین قضیه اساس تعاریف بیان شده در کتابهای دبیرستانی است. قضیه 1. فرض کنیم p یک نقطه ی حدیE باشددراینصورت f درp پیوسته است اگر وفقط اگر li m( f ( x) f ( p) x p که شرط حدی بودن در کتاب های درسی همان وجود الاقل یک همسایگی تعریف شده برای نقطه یک نقطه حدی p است. بنابر این با متر قدرمطلق. تعریف پیوستگی بر اساس و باید به صورت زیر بیان می شود. تابع f در نقطه E با دامنۀ p E x p که پیوستگی ( تعریف مثال. 2 پیوستگی پیوسته است.هرگاه برای هر داشته 0 باشیم 0 داشته باشیم به طوری که برای تمام نقاط x E f ( x) f ( p) ) 11 است. x + 1 x 2 f(x) = { 1 x = 1 3x x 0 که ثابت می شود این تعریف معادل تعریف دنباله ای را در 1=x 2=x و 0=x بررسی کنید.

بنابر مطالب ذکر شده تابع در هر سه نقطه پیوسته است. ولی در 1= x نقطه حدی نیست پس شرط وجود حدرا ندارد. به نقطه ( 1 1( نقطۀ تنها یا منفرد تابع f(x) می گویند. بنابراین ممکن است تابع در نقطه ای حدی نباشدولی پیوسته باشد. مثال 1. پیوستگی تابع پاسخ :این تابع در تمام نقاط Q f(x) = { x + 1 x Q را در 1= x بررسی کنید. x Q c تعریف نشد ه حدی است. و در نقطه 1=x.این تابع در دامنه خود یعنی Q پیوسته است اما در IR پیوسته نیست. مثال 4. پیوستگی تابع f(x) = { x + 1 2x x Q x Q c x = 2 حدی برابر 2 دارد و در این نقطه پیوسته نیز هست در = 1 x x = 2, بررسی کنید.این تابع دراین نقطه حد ندارد پیوسته هم نیست. زیرا به ازاء دنباله های گویا به عدد 3 و به ازاء دنباله های گنگ به عدد 4 نزدیک می شود.اما در نقطه x=1 هم حد دارد وهم پیوسته است.واین نقطه تنها نقطه ای از دامنه است که تابع در آن پیوسته است. نقاط ناپیوستگی یک تابع وپیوستگی تابع در یک بازه تعریف نقاط ناپیوستگی در کتاب بیان نشده است. ولی پیداکردن نقاط ناپیوستگی جزء تمرین کتاب بوده است. نقطه ابهام درمورد ناپیوستگی در مورد ریشه های مخرج کسر وهمچنین نقاط تنها ( منفرد ) می باشد. به سواالت زیر توجه فرمائید. (x )f تابعی پیوسته است جواب این سوال طبق مثال های کتاب این است که بله این تابعی مثال 5. آیا تابع 1 x پیوسته روی دامنه خود یعنی IR-}0{ است. حاال این سوال مطرح می شود که آیا 0= x نقطه ناپیوستگی تابع هست یا خیر آیا این تابع نقطه انفصال دارد تابع در بازه ( 1 و 1-( چند نقطه ناپیوستگی دارد 1 x 2 (x )g تابعی پیوسته است آیا 1= x نقطه انفصال تابع است. مثال. 6 آیا تابع 4 x 1 1 x 0 این تابع چند نقطه ناپیوستگی دارد آیا این تابع روی بازۀ ]3 و 1-[ پیوسته است تنها تعریفی که در کتاب ارائه شده است تعریف زیر است. تعریف 12. تابع f روی I پیوسته است. هر گاه f در هر نقطه I پیوسته باشد. که برای پاسخگویی به چنین سواالتی کافی نیست حال به بیان تعریف پیوستگی تابع روی یک بازه و تعریف نقاط ناپیوستگی تابع از کتاب آنالیز ریاضی رودین می پردازیم تا بتوانیم به سواالت باال پاسخ دهیم. تعریف 11. تابع f روی بازه I پیوسته باشد. با مقایسه دو تعریف می توان به اشکال موجود پی برد در a پیوسته است اگر در هر نقطه از تابع تعریف شده باشد ودر نقاط تعریف شده (x )f دربازه ) 1 و 1-( و همچنین در کل IR پیوسته نیست این تابع با این تعریف مشخص می گردد که تابع 1 x در دامنه خود و هر بازه ای که زیرمجموعه ای از دامنه باشد پیوسته است. همچنین در مورد مثال) 5 ( تابع g(x) x = دربازه ] 3 و 1-[ پیوسته نیست زیرا نقاطی از این بازه وجود دارند که تابع در آنها تعریف نشده نیست. اشکال دیگری که وجود دارد عدم تعریف نقاط نا پیوستگی تابع است که در زیر به بیان آن می پردازیم تعریف 14. هر گاه تابع f در نقطه a از قلمرو تعریف خود پیوسته نباشد می گوییم نوع تقسیم کنند. ناپیوستگی دارد. ودر در صورتی تعریف شدن تابع f ناپیوسته است یا f a در f درباره I رسم این است که ناپیوستگی ها را به دو

1( ناپیوستگی ساده) نوع اول ) : درا ین نوع نا پیوستگی x) lim f ( x), lim f ( xa xa وجود دارند. اما یا خودشان برابرنیستند یا حد تابع موجود است وبا مقدار تابع برابر نیست. که مثالهای کتاب های درسی اغلب از این نوع هستند. مانند شکل های زیر 2( ناپیوستگی نوع دوم: f(x) = { 1 x Q که در این مثال x) lim f ( x), lim f ( تابع 0 x Q C xa xa وجود ندارد. (x )f هر چند تابع در 0= x شرایط پیوستگی را ندارد ولی به این ترتیب مشخص می گردد برای تابع 1 x چون این نقطه جزء دامنه تابع نیست جزء نقاط ناپیوستگی تابع محسوب نمی شود. زیرا ناپیوستگی و پیوستگی جزء ویژگیهای نقاط یک تابع هستند. همچنین در مورد مثال )5( تابع در بازه ]3, 1-[ پیوسته نیست اما در این بازه نقطه ناپیوستگی ندارد. نقاط منفرد جزء نقاط ناپیوستگی محسوب نمی شوند زیرا تابع در آنها پیوسته است. به مثال زیر که دریکی از کتابهای کمک آموزشی معتبر بیان شده است توجه کنید: مثال 6. تابع f در IR پیوسته است.کدام تابع در دامنه اش ممکن است نا پیوستگی داشته باشد y = tan 1 f(x))4 y = tan 1 1 f(x) )3 y = cos 1 3 f(x))2 y = sin 1 f(x) )1 پاسخی که دراین کتاب به این سوال داده شده است به صورت زیر است: گزینه )4( صحیح است زیراممکن f(x) اگر.( 2 x f(x) = x ( دراین صورت برای تابع دارای نقاط منفرد باشد ودر این نقاط ناپیوسته است نقطه x=0 y = tan 1 x ( x 2).برای مثال نقطه منفرد تابع است. ولی طبق تعاریف ارائه شده در مقاله تابع دراین نقطه پیوسته است و هیچکدام از گزینه ها صحیح نمی باشد. نتیجه گیری و پیشنهادات. مراجع : سکوت در مورد نقاط خاص باعث ایجاد اختالف نظر در بین دبیران محترم وهمچنین تعاریف ارائه شده در کتابهای کمک آموزشی گردیده است که در این مورد پیشنهاد می شود یکپارچگی ووحدت نظر را در بیان مفاهیم اختالف برانگیز به وجود آید با بیان بعضی حاالت خاص محتوای کتاب حساب دیفرانسیل وانتگرال از نظر صحت ودقت در ارائه مفاهیم نسبت به کتابهای قدیم بهتر شده است اما نوع مثالها وظاهر نوشته ها و عدم استفاده از مثالهای ملموس باعث شده است دانش آموزان نتوانند ارتباط خوبی با فصل حد وپیوستگی برقرار کنند که دراین مورد نیز باید تغییرات الزم صورت گیرد. تمرینهای کتاب باید در راستای تعاریف ومثالهای ارائه شده در متن کتاب باشد در کتاب جدیدالتالیف حساب دیفرانسیل وانتگرال تمرینها خیلی کامل تر و سنگین تر از مثالهای متن کتاب است وپرداختن به همه تمرینها با توجه به اینکه هر کدام نکته خاص خود را دارند وبرای دانش آموز ناآشناست زمان زیادی را می طلبد وبا توجه به اینکه در سال چهارم به خاطر کنکور عمال کتاب هابایدتا قبل از عید تمام شوند زمان برای تدریس این درس بسیار کم است. که دراین مورد پیشنهاد می شود ساعت درسی افزایش یابد. ]1[ آذرنگ یوسف "یادگیری حسابان دردام مفهوم حد ونمادها " رشد آموزشی ریاضی 3 دوره بیست وهفتم شماره 1 پاییز 1388 ]2[ توماس جرج پرینتسن ترجمۀ مهدی بهزاد سیامک کاظمی علی کافی ( 1384( حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی جلد اول چاپ پانزدهم مرکز نشر دانشگاهی ]3[ حسابان )1330( گروه مولفان ]4[ حساب دیفرانسیل وانتگرال )1331( گروه مولفان ]5[ ریچارد. 1. سیلور من ترجمۀ علی اکبر عالم زاده ( 1333( حساب دیفرانسیل و انتگرال جلد اول چاپ ششم انتشارات علمی و فنی ]3[ حسابان 1 و 2 ( 1373( گروه مولفان

] 7 [حساب دیفرانسیل وانتگرال )1387( گروه مولفان ]8[ رودین واکتر ترجمه علی اکبر عالم زاده ( 1380( اصول آنالیز ریاضی انتشارات علمی و فنی. ]3[. ریچارد گولد برگ ترجمه محمد علیپور عبدهللا نژاد باقر نشوادیان )1731( روشهای آنالیز حقیقی مرکز نشر دانشگاهی ]10[ کیامنش علیرضاوهمکاران "تحلیل محتوی مسائل حسابان بر اساس رویکرد مدل سازی" فصل نامه مطالعات برنامه درسی سال ششم شماره 42 بهار 1731